La paradoja de los gemelos.

www.enciga.org/taylor/relatividad/barataria.htm

Viaje a Barataria

La nave Xouba se dispone a emprender viaje a Barataria, planeta aun no descubierto que se encuentra a unos cuatro años luz de la tierra y que puede considerarse aproximadamente en reposo relativo con respecto a nuestro planeta. Uno de los astronautas se despide de su hermano gemelo antes de embarcar. Pasarán años antes de que vuelvan a encontrarse, pero no los mismos años para uno que para el otro. Para el que se queda en la Tierra su hermano regresará al cabo de más de ocho años, mientras que para el viajero apenas habrán transcurrido unos quince meses. Cuando el viaje termine, uno de los hermanos será casi siete años más joven que el otro, siete años que para él no habrán transcurrido. Esta diferencia de edad se debe a la dilatación del tiempo de la nave. Cuando una nave se mueve a una velocidad cercana a la de la luz todos los procesos transcurren con más lentitud, incluidos los procesos biológicos que rigen el comportamiento de nuestros cuerpos. Los tripulantes no pueden percibir esa dilatación de todas las duraciones por que sus propios mecanismos de percepción se dilatan en el tiempo

Ahora bien, ¿no son relativos todos los movimientos? Si el movimiento es relativo, los tripulantes de la nave tienen todo el derecho a considerar que se encuentran en reposo y que son la Tierra y Barataria las que se mueven. Bajo este supuesto, serán los relojes de la Tierra los que avancen más lentamente, y al regreso será más joven el gemelo que se quedó en casa. ¿No demuestra este razonamiento que la teoría de la relatividad especial conduce a conclusiones contradictorias cuando se aplica a casos como éste?

Ésta es la paradoja de los gemelos. La teoría de la relatividad especial se salva de las funestas consecuencias de esta paradoja porque el razonamiento anterior no es correcto. ¿Dónde está el error? Trataremos de encontrarlo ayudándonos del applet de esta práctica, donde se simula el viaje, tanto desde el punto de vista del gemelo que se queda en la tierra como del que se embarca en la nave.

El observador terrestre.

Al comenzar el programa debe ofrecer un aspecto como el que se muestra en la figura. De no ser así consulta la página de problemas de ejecución.

imagen del programa



En las ventanas inferiores se muestran los planetas girando y la nave preparada para zarpar. Bajo las imágenes se indican las distancias en tiempo luz : años-luz (a-l) y días-luz (d-l). En esta primera parte de la práctica las distancias se tomarán con respecto a la Tierra. Bajo la distancia se indica el tiempo transcurrido desde el inicio del viaje medido por relojes situados en los tres cuerpos. Como el viaje todavía no se ha iniciado ese tiempo es cero. Por cierto, ¿qué clase de reloj podemos tener en Barataria si se trata de un planeta todavía no descubierto y, además, inhabitado?. El propio movimiento de rotación del planeta es un reloj. Notemos también que la tierra tarda cinco segundos en dar una vuelta completa en torno a su propio eje. Esto nos indica la escala de tiempos que se ha tomado: cada cinco segundos de programa representan un día terrestre. El día de Barataria dura dos días terrestres.

Los controles de opción situados junto a la imagen de Barataria nos permiten escoger el observador. Más adelante veremos la utilidad de estos controles, por ahora los dejaremos como están.

Estamos listos para zarpar. Solo tenemos que pulsar el botón Empezar para que la nave despegue. En ese momento comienzan a correr los relojes y el Xouba arranca con una aceleración de 900 m/s2. Aquí nos enfrentamos con un pequeño problema técnico: Con semejante aceleración los navegantes del Xouba se sentirían aplastados por una fuerza de inercia superior a noventa veces su propio peso. Por si fuera poco la aceleración se mantiene durante varios días, hasta que la nave adquiere una velocidad de 0,99c. Afortunadamente nuestro viaje es simulado, así que no tenemos que preocuparnos de esos asuntos. Podemos ver tranquilamente como la nave se va encogiendo a medida que la velocidad aumenta, y como su reloj va avanzando cada vez más despacio. Podemos también tratar de responder a la primera cuestión:

Después de pulsar el botón Empezar se activan los controles de salto temporal ([<<] y [>>]) y el botón Parar/Continuar. Además el botón Empezar ha cambiado su texto por el de Reiniciar. En la ventana de navegación se observa el movimiento de la nave. Su ancho representa una distancia de ocho años luz, de manera que, incluso con la escala temporal adoptada, se necesitan varios minutos para percibir los cambios de posición de la nave. Los botones de salto temporal nos permiten saltar directamente a dos días antes de que ocurra algún cambio en el movimiento del Xouba: El inicio o el fin de un período de aceleración, la salida de Barataria y la llegada a la Tierra. En la fase de salida de la Tierra el botón de salto atrás tiene el mismo efecto que el de Empezar/Reiniciar.

Sigue el viaje de la nave: Después del período de aceleración al salir de la Tierra adquiere una velocidad constante de 0,99c. En las proximidades de Barataria comienza a frenar. Una vez que llega a Barataria permanece allí siete días y regresa a la Tierra. Fíjate en la diferencia de tiempos entre el reloj de la Tierra y el de la nave cuando el viaje ya ha terminado.

El mundo según el navegante:

Para ver como es el viaje según los navegantes necesitamos volver al modo Preparados para zarpar. Si no estamos en ese modo debemos parar el programa (botón Parar) y pulsar el botón Reiniciar. A continuación activamos el control circular Desde Xouba y pulsamos el botón Empezar.

Ahora las distancias se miden desde la nave, cuyo indicador de velocidad se mantiene en el valor cero. Pero algo extraño pasa: El Xouba apenas se despega de la Tierra (podemos ver la distancia entre la nave y la Tierra en el indicador de distancia de la ventana inferior izquierda), pero Barataria se acerca a toda velocidad. Además, mientras que el reloj de la Tierra avanza más lentamente que el de la nave, el reloj de Barataria se dispara. Al tiempo observamos como los planetas se contraen en la dirección del movimiento. Pero, ¿qué pasa con Barataria? En diez días se acerca unos dos años luz y medio. ¡Se está moviendo a una velocidad muy superior a la de la luz!

Claro que no. Según la teoría de la relatividad nada puede moverse a una velocidad mayor que la de la luz. ¿Entonces funciona mal el programa? Tampoco. Podemos aclararnos con lo que ocurre comparando la situación de la nave antes del despegue y una vez que ha adquirido la velocidad de crucero. Antes del despegue el sistema inercial asociado con la nave en reposo era el de la Tierra y Barataria. La distancia entre ambos planetas era de cuatro años luz. Una vez que adquieren una velocidad constante de 0,99c con respecto a la Tierra y Barataria, los tripulantes de la nave pueden considerarse a sí mismos en reposo en un sistema inercial. Los planetas se mueven con respecto a ellos a una velocidad de 0,99c. Pero el observador en reposo ve las longitudes y las distancias de un sistema en movimiento contraídas.

Durante los diez días que dura la fase de aceleración, la distancia entre los dos planetas pasa de cuatro años luz a poco más de seis meses luz. Barataria se ha acercado tanto no porque se haya movido a una velocidad muy superior a la de la luz, sino porque el espacio entre ella y la Tierra se ha contraído.

¿Y qué pasa con los relojes? Se supone que los relojes en movimiento avanzan más lentamente que los que se encuentran en reposo. En cambio parece que el reloj de Barataria no tiene freno.

Ya lo hemos dicho. El acercamiento de Barataria se debe al cambio de sistema de referencia experimentado por la nave. Lo mismo ocurre con los relojes. En la base de todos los efectos relativistas se encuentra el carácter relativo de la simultaneidad. Relojes sicronizados según un sistema de referencia no lo están para cualquier otro que se mueva con respecto a él (a no ser que se dispongan en dirección perpendicular a ese movimiento). Desde el nuevo sistema de referencia de la nave el reloj de Barataria debe estar adelantado casi cuatro años con respecto al de la Tierra.